Друга мішана крайова задача в півпросторі для узагальненого рівняння Колмогорова

Анотація

У цій статті досліджується друга крайова задача в
півпросторі для рівняння типу дифузії з інерцією, де інерція визначається чотирма групами змінних. Кожна з цих груп охоплює відповідну кількість змінних, і для них характерне виродження ознак параболічності. Для підтвердження існування розв’язків цієї крайової задачі застосовано метод граничного переходу, а також побудовано асимптотичний розклад, який допомагає  дослідити поведінку рівняння.
Особливо важливу роль відіграє явний аналітичний вигляд фундаментального розв’язку задачі Коші, а також вивчення властивостей його похідних для виродженого параболічного рівняння.
Для зведення поставленої задачі до більш зручного  математичного формулювання використано метод потенціалів, де ядро цих потенціалів відповідає  фундаментальному розв’язку узагальненого рівняння
Колмогорова. Завдяки цьому підходу другу крайову задачу в півпросторі було редуковано до сингулярного інтегрального рівняння.
Для пошуку розв’язку застосовано класи  диференційовних функцій, що дозволило гарантувати стиск відповідного інтегрального оператора за умов малого параметра t. Окрім існування, забезпечено також доказ єдиності розв’язку заданої крайової задачі. Цей результат базується на використанні принципу максимуму в просторах обмежених функцій, що, своєю чергою, надає теоретичний фундамент для подібних
досліджень. Таким чином, стаття робить вагомий внесок у розвиток математичних методів для аналізу й  розв’язання задач з виродженими параболічними рівняннями в багатовимірних просторах.