Вироджена ортогональність у просторі поліномів, індукованому дискретними та ермітового типу локальними функціоналами

Анотація

У цій статті досліджуються вироджені білінійні форми на просторі поліномів, породжених дискретними функціоналами типу Лагранжа та Ерміта. Показано, що для дискретної форми, побудованої на основі значень полінома в скінченній множині вузлів, її ядро збігається з головним ідеалом, породженим поліномом, що занулюється у всіх вузлах. Далі встановлено узагальнення типу Ерміта: якщо форма залежить від значень похідних заданих порядків у вузлах, а відповідні локальні матриці коефіцієнтів є невиродженими, то ядро форми збігається з головним ідеалом, породженим добутком відповідних степенів лінійних множників. Це дає змогу інтерпретувати фактор-простір поліномів за модулем ядра як простір скінченних струменів, а відповідний ортогональний розклад — як інтерполяцію Лагранжа або Ерміта. Крім того, сформульовано загальну теорему про локальні форми на просторах струменів, яка охоплює схеми Лагранжа, Ерміта та змішані локальні схеми в єдину систему.