Нерівність типу Вімана і діагональний максимальний член

Анотація

Нехай $\mathbb{C}^{p}$ -- $p$-вимірний $(p\geq 1)$ комплексний векторний простір, $\|n\|=n_1+\cdots +n_p$,\ $|z|=\sqrt{|z_1|^2+\ldots+|z_n|^2}$ для $n=(n_1,\ldots,n_p)\in\mathbb{Z}_{+}^{p}$\ та $z=(z_1,\ldots,  z_p)\in\mathbb{C}^{p}$,\ $\mathbb{R}_{+}= [0, +\infty)$. В статті розглядається кла аналітичних функцій $f$, представлених в одиничній кулі $\mathbb{B}_p=\{z\in\mathbb{C}^p\colon |z|<1\}$ степеневим рядом вигляду $f(z)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty} P_k(z)$; тут $P_0(z)\equiv a_{0}\in\mathbb{C},$ $P_k(z)$ -- однорідний поліном степеня $k\in\mathbb{Z}_+$. Позначимо $M_f(r)=\max\{|f(z)|\colon |z|=r\}$ і $m(r,f)=\max\{|P_k(z)|\colon k\geq 0\}$ -- максимуум модуля і максимальний член ряду, відповідно. В статті, зокрема, доведено наступні твердження: $1^0.$\ Для кожної аналітичної функції $f\in\mathcal{A}^{p}$, $p\geq 2$ і для довільного $\varepsilon>0$ існує множина $E=E(\varepsilon, f)\subset (0,1)$ скінченної логарифмічної міри і така, що нерівність $M(r, f)\leq \frac{m(r, f)}{(1-r)^{1+\varepsilon}}\Big(\ln\Big(\frac{m(r, f)}{1-r}\Big)\Big)^{1/2+\varepsilon}$ виконується для всіх $ r\in (0, 1)\setminus E$. $2^0.$ Нехай $h$ -- неперервна додатна зростаюча до $+\infty$ на $[0;1)$ функція така, що    $\int^1_{0} h(r) d r =+\infty. $  Якщо функція $f\in\mathcal{A}^p$ -- необмежена, то існує множина $E_1:=E(f,h)\subset(0,1)$ така, що $h$-${\rm meas\ }E_1=\int_{E_1\cap(0,1)}h(r)dr < +\infty$ та $\ln M(r,f)\leq (1+o(1))\ln\big(h(r)m(r,f)\big)$\ $(r\to 1-0,\ r\in (0,1)\setminus E_1)$.