ФАКТОРИЗАЦІЯ СИМЕТРИЧНИХ ПОЛІНОМНИХ МАТРИЦЬ ЛОРАНА НАД КІЛЬЦЕМ З ІНВОЛЮЦІЄЮ
DOI:
https://doi.org/10.31471/2304-7399-2024-19(73)-57-66Ключові слова:
регулярна поліноміальна матриця Лорана, верхній і нижній степінь поліноміальної матриці Лорана, факторизація симетричної поліноміальної матриці Лорана, канонічна форма Сміта, значення матриці на системі коренів діагональних елементів.Анотація
Багато задач в області цифрової обробки сигналів та зв’язку, теорії автоматичного керування, теорії керованих систем скінченного стану, теорії відтворення образів і теорії пристроїв передачі даних можна перетворити на алгебраїчні задачі для поліноміальних матриць Лорана, і вони можуть бути розв’язані за допомогою існуючих алгебраїчних методів. Ефективні алгебраїчні алгоритми, які базуються на перетвореннях поліноміальних матриць Лорана та їх факторизаціях, дозволяють здійснити повний аналіз динаміки системи.
Введене поняття напівскалярної еквівалентності поліномних матриць Лорана і встановлена для них нижня трикутна форма з інваріантними множниками на головній діагоналі, а також отримана умова регуляризації поліноміальних матриць Лорана, дозволяє знайти умови факторизації симетричних матриць Лорана на кільцем поліномів з інволюцією.
У статті розглянуто задачу про факторизації симетричних поліноміальних матриць Лорана над кільцем з інволюцією. Отримано необхідні і достатні умови факторизації таких матриць із регулярним множником з наперед заданою канонічною формою Сміта. Отримано критерій факторизації симетричних поліноміальних матриць Лорана, яка є паралельною до факторизації її форми Сміта.
Посилання
Любачевский Б.Д. Факторизация симметрических матриц с элементами из кольца с инволюцией // Сибирский мат. журн. 1973. – 14, № 2 – С. 337–356.
Казімірський П.С. Розклад матричних многочленів на множники. – К.: Наук. думка, 1981. – 224 с.
Казімірський П.С., Петричкович В.М. Про еквівалентність поліноміальних матриць // Теорет. та прикл. питання алгебри і диф. рівнянь. – К.: Наук. думка, 1977. – С. 61–66.
Зеліско В.Р., Кучма М.І. Факторизація симетричних матриць над кільцями многочленів з інволюцією // Мат. методи і фіз.- мех. поля. 1997. – 40, № 4 – С. 91–95.
Зеліско В.Р. Єдиність унітальних дільників матричного многочлена // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. 1988. – Вип. 30 – С. 36–38.
Зеліско В.Р. Матриці та матричні рівняння над кільцями многочленів з інволюцією // Прикл. проблеми мех.і мат. 2010. – Вип. 8 – С. 18–22.
Казімірський П.С., Петричкович В.М. Про еквівалентність поліноміальних матриць // Теорет. та прикл. питання алгебри і диференц. рівнянь. 1977. – С. 61 – 66.
Петричкович В.М. О полускалярной эквивалентности и нормальной форме Смита многочленных матриць // Мат. методи та фіз.-мех. поля. 1987. – Вип. 25. – С. 13–16.
Petrychkovych V. Generalized equivalence of pair of matrices // Linear Multilinear Algebra, 2000. – 48. – P. 179–188.
Petrychkovych V. Standart form of pair of matrices with respect to generalized equivalence // Visnyk Lviv. Univ. 2003. – 61. – P. 153–160.
Kuchma М.I., Gatalevych A.I. Triangular form of Laurent polynomial matrices and their factorization // Mathematical modelling and computing, 2022. – 9. No. 1, P. 119-129.
Кучма М.І. Симетрична еквівалентність матричних многочленів і виділення спільного унітального дільника із матричних многочленів // Укр. матем. журн. 2001. Т. 53. № 2. – С. 211-219.
Зеліско В.Р., Щедрик В.П. Матриця значень на системі коренів діагональних елементів елементів матриці та її застосування // Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2005. – 48, № 4 – С. 20–29.
Казимирский П. С., Щедрик В. П. О решениях матричных многочленных односторонних уравнений // Доклади АН СССР. 1989. – 304, №2. – С. 271–274.
Foster J.A., McWhirter J.G., Davies M.R., Chambers J.A. An algorithm for calculating the QR and singular value decompositions of polynomial matrices // IEEE Trans. Signal Process. 2010. – 58(3). – P. 1263–1274.
Park H. Symbolic computation and signal processing, Journal of Symbolic Computation // 2004. – 37. – P. 209–226.
Kaczorek T. Polynomial and Rational Matrices: Applications in Dynamical System. Theory, Commun. and Control Eng. Ser. London (UK). 2007.
